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选修教材极限与极限分析导言

作者: 来源: 日期:2015-4-10 9:17:02 人气:1888

本章内容是数学归纳法,数学归纳法应用举例,数列的极限,函数的极限,极限的四则运算,函数的连续性 极限是微积分中的重要概念,极限的思想方法在数学中有着广泛的应用。

  一、内容与要求

  (一)本章的教学内容

1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点应该是方法的应用.但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.对方法作简单的灌输,学生必然疑虑重重。为此,我们设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机。

数学归纳法产生的过程分二个阶段,第一阶段从对归纳法的认识开始,到对不完全归纳法的认识,再到不完全归纳法可靠性的认识,直到怎么办结束.第二阶段是对策酝酿,从介绍递推思想开始,到认识递推思想,运用递推思想,直到归纳出二个步骤结束。

把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置,必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义,也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试。

理解数学归纳法中的递推思想,还要注意其中第二步,证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件.中学数学中的许多重要结论,用数学归纳法加以证明,可以使学生对有关知识的掌握深化一步。

2.本章引言从我国魏晋时期杰出数学家刘徽创立的“割圆术”说起,引出了极限的思想和方法,形象具体地帮助学生初步认识极限,激发他们学习极限的兴趣,并由此自然过渡到数列极限的内容。

数列的极限是最简单的一种极限,它可以看作是自变量以取正整数的形式趋向于无穷时的特殊的函数极限。本章2.2节中,对于数列极限的概念分两个阶段讨论。首先,通过观察几个特殊数列的变化趋势,归纳出数列极限的描述式定义;接着,通过深入讨论“当项数n无限增大时,无穷数列{ }中的项无限趋近于一个常数a”。

本章在2.3节中采用直观描述的方法,给出函数极限的定性定义。让学生尽早进入微积分主体部分(本书的后续内容)的学习。

3.本章在第2.4节安排了数列极限的四则运算和函数极限的四则运算。极限的四则运算是建立在极限的概念的基础上的。由于本章不重在研究理论,所以教材中并未给出这些法则的理论依据,而是重在让学生学会使用这些法则。教材安排了一些具有代表性的例题,结合它们介绍了使用极限四则运算法则的基本方法和技巧。这些题目的难度都不大,安排它们的目的是让学生掌握最基本的极限运算。

4.在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数,而连续的概念是建立在极限的概念的基础上的。因此本章的第2.5节安排了“函数的连续性”。在介绍完连续函数的概念及性质后,又介绍了已经学过的基本初等函数的连续性及对于连续函数求极限的方法(如果函数f(x)在点x0处有定义而且连续,那么。

  (二)本章的教学要求

1. 理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题数学归纳法原理的了解,关键是讲清数学归纳法的两步骤及其作用,数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(kn0kN*)时,命题成立.(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,…,命题都成立,这是问题的重点和难点。

2.从数列和函数的变化趋势理解数列极限和函数极限的概念。掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限。

3.了解函数在一点处的连续性的定义,知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在定义域里每一点都连续;会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值。

  二、教学中应注意的几个问题

  (一)突出重点、把握难点、打好基础

归纳法是一种由特殊到一般的推理方法.分为完全归纳法和不完全归纳法二种.由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必须作出证明,证明可用数学归纳法进行.数学归纳法作为一种证明方法,它的基本思想是递推(递归)思想,它的操作步骤必须是二步。

极限的概念是续内容导数的基础。由于极限的概念中关系到“无限”,而中学生以往的数学学习中主要接触的是“有限”的问题,很少涉及“无限”的问题。因此,对极限概念如何从变化趋势的角度来正确理解成为本章的难点。为了解决这个难点,我们提出如下建议:第一,结合具体例子,通过比较数值的变化及图象,在“无限趋近”的解释上多加考虑,首先要让学生对它形成正确的初步认识,为理解极限概念积累一定的感性认识。第二,注意从“特殊”到“一般”的归纳,讲具体例子时,注意从中提炼、概括涉及极限的本质特征,为归纳出一般概念做好准备;讲一般概念时,注意结合具体例子予以解释说明,克服抽象理解的困难。第三,注意到对极限概念及思想的深入理解不是一次就能完成的,而是需要一个较长的过程。因此,在教学中要有计划地、分阶段地、由浅入深地引导学生认识和理解极限的概念和思想,以定性的认识为主,并适当地让学生对极限有一些定量化的认识,注意全章教学的整体效果。

  (二)把握教学要求

  理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式 初步掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想,小心求证的辩证思维素质,培养学生对于数学内在美的感悟能力。

让学生掌握极限的初步概念和一些基本的运算,理解极限的思想和方法,并不要求一些繁难的运算,在安排教学内容时,也是从这个出发点出发。例如在讲述极限(数列极限、函数极限)的四则运算时,教材安排的题目只是一些基本的题目,难度都不大,安排他们主要是让学生掌握基本的四则运算,加深对概念的理解。

  对于函数的连续性,由于一些基本初等函数以及复合函数的概念学生没有接触过,因此,也只是让学生知道已学过的基本初等函数及由他们经过有限次四则运算所产生的函数在定义域里每一点都连续,会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值。

 (三)结合本章内容对学生进行思想教育

  1.通过介绍刘徽“割圆术”,对学生进行爱国主义教育。刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家,他毕生研究《九章算术》,并做了注释,求出圆周率,提出“出入相补原理”,成为中国古代数学证明的基本思想方法之一。可以通过介绍中华民族的勤奋与智慧,激发学生的民族自豪感,为祖国的繁荣昌盛而努力学习的热情。

  2.通过对极限内容的教学,使学生从量变中认识质变,从有限中认识无限,从近似中认识精确,帮助他们树立运动变化的辩证唯物主义观点。





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